Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, herzlich willkommen.

Wie letztes Mal angekündigt, befassen wir uns heute mit dem Thema Induktion.

Sie können im Übrigen auf der Veranstaltungs-Homepage sich angucken, welche Themen so sukzessive

Woche für Woche dran kommen.

Das sind sehr grobe Stichworte, die Sie da in den Kalenderüberschriften finden, aber

wenn Sie das dann abgleichen gegen vielleicht das alte Skript, das Sie noch sehen, dann

müssten Sie größtenteils ahnen können, was kommt.

Also Induktion.

Also einmal ganz grob und intuitiv vorneweg, was ist das Prinzip von Induktion?

Wir wollen irgendeine Aussage P von X beweisen für alle X.

Mit einem Worten, ich lasse das X jetzt mal offen.

Ich will also schlechthin P von X beweisen, wo ich dann für X beliebige Dinge einer bestimmten

Art einsetzen darf.

So, ich vergesse jetzt mal, dass ich Mathematiker bin, ja, und formuliere das so salopp.

Ich reduziere diese Aussage von komplexen X auf einfache X, was auch immer komplex und

einfach heißt.

So, reduzieren heißt, ich zeige das, wenn es für die einfachen X gilt, dann auch für

die komplexen.

So, das beweist dann für alle X P von X, wenn noch zwei Dinge gelten.

Zuerst müssen wir aufpassen, dass wir den richtigen Begriff von einfach gewählt haben,

sodass das so gebaut ist, dass wir irgendwann bei was Atomaren ankommen.

Also, erstens müssen wir aufpassen, dass wir mit unserer Reduktion nicht in unendlichen

Regress geraten.

Das heißt, wir müssen unseren Begriff von komplex und einfach so gebaut haben, dass

ein gegebenes X, für was wir uns interessieren, dass das nur endlich oft einfacher werden

kann.

Ein Gegenbeispiel wäre, wenn wir auf die Idee kämen, ja, ich schreibe das jetzt nicht

an, sondern sage es nur, weil man ja nichts Falsches anschreiben soll.

Also, wenn wir auf die Idee kämen, Dinge über rationale Zahlen zu beweisen, indem wir zeigen,

dass wenn es für X halbe gilt, dann auch für X.

Also, wir also sagen, X halbe ist einfacher als X.

Dann kommen wir in unendlichen Regress.

Warum?

Na ja, gut, wenn ich das also für 8 beweisen will, muss ich es für 4 beweisen.

Wenn ich es für 4 beweisen will, muss ich es vorher für 2 beweisen.

Wenn ich es für 2 beweisen will, muss ich es vorher für 1 beweisen.

Vorher für ein halb, für ein viertel, für ein achtel und so weiter.

Das hört nie auf.

Ja, das heißt, das wäre ein ungeeigneter Begriff von einfacher.

Dagegen ein geeigneter Begriff von einfacher wäre, wenn ich über natürliche Zahlen rede

und sage, gut, jeweils die vorige Zahl ist einfacher als die, die ich gerade in der Hand

habe.

Also, 9 ist einfacher als 10, 8 ist einfacher als 9 und so weiter.

Das hört irgendwann auf, indem ich sage, gut, je nachdem, wo ich anfange, bei 1 oder 0 ist

halt Schluss.

Man sieht an der Stelle schon das nächste Gegenbeispiel.

Wenn ich über die ganzen Zahlen rede, klappt es wieder nicht.

Wenn ich über die ganzen Zahlen Dinge beweisen will und das jeweils auf den Vorgänger reduzieren

will, dann rausche ich über die Null ja drüber.